এই পোস্টে আমরা জানব ৭ম শ্রেনীর, বিষয় গণিত এর নবম অধ্যায় বীজগাণিতিক রাশির উৎপাদক, সম্পর্কে।
অজানা রাশির উৎপাদক
অজানা রাশির উৎপাদক, গসাগু ও লসাগু অংশে প্রথমে আমরা অজানা রাশির উৎপাদক অংশ নিয়ে সমস্যার সমাধান করব। এই অংশে আমরা বীজগণিতীয় রাশির উৎপাদক ((Factorization of Algebraic Expression) নির্ণয়ের দুইটি পদ্ধতি ১. ছবির মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় ও ২. কাগজকাটা মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় বিষয়ক সমস্যার সমাধান করব।
ছবির মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ
1. 20x+4y
2. 28a+7b
3. 15y-9y2
4. 5a2b2 -9a4b2
সমাধানঃ
1. 20x+4y
20x+4y কে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরে উহার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।
এখানে, 20 এর এর উৎপাদক 1, 2, 4, 5, 10, 20
4 এর এর উৎপাদক 1, 2, 4
তাহলে, 20 ও 4 সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো 4
চিত্র থেকে পাই, প্রস্থ = 4 হলে দৈর্ঘ্য = (5x+y)
অর্থাৎ 20x+4y এর উৎপাদক দুটি হলো যথাক্রমে 4 এবং (5x+y)
2. 28a+7b
28a+7b কে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরে উহার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।
এখানে, 28 এর এর উৎপাদক 1, 2, 4, 7, 14, 28
7 এর এর উৎপাদক 1, 7
তাহলে, 28 ও 7 সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো 7
চিত্র থেকে পাই, প্রস্থ = 7 হলে দৈর্ঘ্য = (4a+b)
অর্থাৎ 28a+7b এর উৎপাদক দুটি হলো যথাক্রমে 7 এবং (4a+b)
3. 15y-9y2
15y-9y2 কে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরে উহার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।
এখানে, 15 এর এর উৎপাদক 1, 3, 5, 15
9 এর এর উৎপাদক 1, 3, 9
তাহলে, 15 ও 9 সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো 3 এবং y ও y2 এর সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো y.
চিত্র থেকে পাই, প্রস্থ = 3y হলে দৈর্ঘ্য = (5-3y)
অর্থাৎ 15y-9y2 এর উৎপাদক দুটি হলো যথাক্রমে 3y এবং (5-3y)
4. 5a2b2 -9a4b2
5a2b2 -9a4b2 কে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ধরে উহার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করি।
এখানে, 5 এর এর উৎপাদক 1, 5
9 এর এর উৎপাদক 1, 3, 9
তাহলে, 5 ও 9 সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো 1 এবং a2b2 ও a4b2 এর সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক হলো a2b2.
চিত্র থেকে পাই, প্রস্থ = a2b2 হলে দৈর্ঘ্য = (5-9a2)
অর্থাৎ 5a2b2 -9a4b2 এর উৎপাদক দুটি হলো যথাক্রমে a2b2 এবং (5-9a2)
কাগজ কাটার মাধ্যমে উৎপাদক এ বিশ্লেষণ
একক কাজ: উপরে বর্ণিত একটিভিটির মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
1. x2+3x+2
সমাধানঃ
প্রথমে ক্ষেত্রফল x2, x ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৩ ও ২টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+ 2) ও (x+1)
অতএব, x2+3x+2 এর উৎপাদক হলোঃ (x+2)(x+1)
[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]
2. x2-x-2
সমাধানঃ
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, -x, x ও -1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ২, ১ ও ২টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-2) ও (x+1)
অতএব, x2-x-2 এর উৎপাদক হলোঃ (x-2)(x+1)
[[ব্যাখ্যাঃ
x2-x-2 এর মিডিল টার্ম করলে পাই x2-2x+x-2
এবং এই মিডিল টার্ম গঠন থেকে আমরা বুঝে যাই কি কি ব্লক বা মডেল গঠন করতে হবে। এখানে এগুলো হলোঃ x2, -x, x ও -1 এর জন্য ১টি, ২টি, ১টি ও ২টি।
এখন আকৃতি গুলো সাজিয়ে আয়তক্ষেত্র গঠন করার পর নতুন ক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য বের করতে হবে।
এখন,
চিত্রে খেয়াল করি,
গঠিত ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (একটি x2 এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য x) + (১টি –x এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য -1) + (১টি –x এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য -1) = x + (-1) + (-1) = x -1 – 1 = x -2
গঠিত ক্ষেত্রের প্রস্থ = (একটি x2 এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য x) + (১টি x এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য 1) = x+ 1
উল্লেখ্যঃ x এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 কিভাবে?
এটা বুঝতে আমরা প্রথমে ক্ষেত্র x2 চিন্তা করি, যেখানে এর দুইটি বাহু x ও x অর্থাৎ, x.x = x2
সেইরুপঃ ক্ষেত্রফল x হলে দুটি বাহু x ও 1, ক্ষেত্রফল -x হলে দুটি বাহু x ও -1 ]]
3. x2-3x+2
সমাধানঃ
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, -x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৩ ও ২টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-2) ও (x-1)
অতএব, x2-3x+2 এর উৎপাদক হলোঃ (x-2)(x-1)
[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]
4. x2-4x+4
সমাধানঃ
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, -x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৪ ও ৪টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-2) ও (x-2)
অতএব, x2-4x+4 এর উৎপাদক হলোঃ (x-2)(x-2)
[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]
5. x2-2x+1
সমাধানঃ
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, -x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ২ ও ১টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-1) ও (x-1)
অতএব, x2-2x+1 এর উৎপাদক হলোঃ (x-1)(x-1)
[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]
6. x2+2x+1
সমাধানঃ
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ২ ও ১টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+1) ও (x+1)
অতএব, x2+2x+1 এর উৎপাদক হলোঃ (x+1)(x+1)
[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]
7. x2+5x+6
সমাধানঃ
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, x, ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৫ ও ৬টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+3) ও (x+2)
অতএব, x2+5x+6 এর উৎপাদক হলোঃ (x+3)(x+2)
[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]
8. x2+x-6
সমাধানঃ
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, x, -x ও -1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৩, ২ ও ৬টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+3) ও (x-2)
অতএব, x2+x-6 এর উৎপাদক হলোঃ (x+3)(x-2)
[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]
9. x2-5x+6
সমাধানঃ
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, -x ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৫, ও ৬টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-3) ও (x-2)
অতএব, x2-5x+6 এর উৎপাদক হলোঃ (x-3)(x-2)
[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]
10. x2-6x+9
সমাধানঃ
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, -x ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৬, ও ৯টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x-3) ও (x-3)
অতএব, x2-6x+9 এর উৎপাদক হলোঃ (x-3)(x-3)
[বিঃদ্রঃ কিভাবে সমাধান করা হয়েছে তার ব্যাখ্যা 2 নং এ বিস্তারিত দেয়া হয়েছে]
11. একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 14xy এবং ক্ষেত্রফল 42xy3 হলে, উহার দৈর্ঘ্য কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 14xy এবং ক্ষেত্রফল 42xy3
আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য*প্রস্থ
তাহলে, দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ
বা, দৈর্ঘ্য = 42xy3 ÷ 14xy
বা, দৈর্ঘ্য = 3y2 (Ans)
12. যদি চিত্রে প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যকে 2 একক বৃদ্ধি করা হয় এবং প্রস্থকে 1 একক হ্রাস করা হয় তাহলে উহার পরিসীমা ও ক্ষেত্রফলে কী পরিবর্তন ঘটবে নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
চিত্রে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = l এবং প্রস্থ = w
তাহলে,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(w+l) = 2w+2l …..(1)
এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = wl ….. (2)
আবার,
যখন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যকে 2 একক বৃদ্ধি করা হয় এবং প্রস্থকে 1 একক হ্রাস করা হয়
তখন, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = l+2 এবং প্রস্থ = w-1
সেক্ষেত্রে,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2{(l+2)+(w-1)}
=2(l+2+w-1)
=2(l+w+1)
= 2l+2w+2 …… (3)
এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= (l+2)(w-1)
= wl+2w-l-2 ……(4)
এখন, সমীকরণ (1) ও (3) এর তুলনা করে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার পরিবর্তন পাই,
(2l+2w+2) – (2w+2l) = 2
এবং, সমীকরণ (2) ও (4) এর তুলনা করে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন পাই,
(wl+2w-l-2) – wl = 2w-l-2
13. যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x+4) মিটার এবং ইহার ক্ষেত্রফল x2 +7x+12 বর্গমিটার হয়, সে ক্ষেত্রে প্রস্থ কত হবে?
সমাধানঃ
সাধারন পদ্ধতিঃ
x+4) x2 +7x+12 (x+3
x2+4x
—————-
3x+12
3x+12
—————–
0
অতএব, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x+3
কাগজকাটা পদ্ধতিঃ
কাগজকাটা পদ্ধতিতে x2 +7x+12 এর উৎপাদক নির্ণয় করি।
প্রথমে, ক্ষেত্রফল x2, x ও 1 এর সমান আকৃতির যথাক্রমে ১, ৭, ও ১২টি ব্লক বা মডেল তৈরি করে সেগুলো দ্বারা একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করি যার চিত্র নিন্মরুপঃ
গঠিত আয়তাকার ক্ষেত্রটির বাহুদ্বয় যথাক্রমে (x+4) ও (x+3)
অতএব, x2-6x+9 এর উৎপাদক হলোঃ (x+4)(x+3)
এখন, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x+4 বিধায় এর প্রস্থ হলোঃ x+3
পরবর্তী পৃষ্ঠার সমাধান পেতে নিচের লিংকে ক্লিক করুন 👇
