এই পোস্টে আমরা জানব ৭ম শ্রেনীর, বিষয় গণিত এর নবম অধ্যায় বীজগাণিতিক রাশির উৎপাদক, সম্পর্কে।

বীজগণিতীয় রাশিমালার গসাগু ও লসাগু –  ৯ম অধ্যায় ( ১৮৮ – ১৯২ পৃষ্ঠা)

বীজগণিতীয় রাশিমালার গসাগু ও লসাগু (HCF & LCM)

আমরা পাটিগণিতের লসাগু ও গসাগু সম্পর্কে পূর্ব থেকেই পরিচিত। ইতিমধ্যেই আমরা বীজগণিতীয় রাশির বর্গ, ঘন , উৎপাদকে বিশ্লেষণ, গুণ এবং ভাগ নির্ণয় শিখেছি। এ অধ্যায়ে আমরা বীজগণিতীয় রাশিমালার লসাগু ও গসাগু নির্ণয় করা শিখব।

বীজগণিতীয় রাশিমালার সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক (Common Factor):-

দুই বা ততোধিক বীজগাণিতিক রাশি অপর কোনো রাশি দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য হলে শেষোক্ত রাশিটিকে ওই দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশির সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক বলে।

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গসাগু (Highest Common Factor or H.C.F):-

দুই বা ততোধিক রাশির মধ্যে যতগুলি সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক থাকে, তাদের গুণফলকে পূর্বোক্ত রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গসাগু. (Highest Common Factor or H.C.F) বলে।

একক কাজঃ

১. যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা গসাগু x গঠিত, আমরা কি সেই সকল রাশিগুলিকে গসাগু x দ্বারা ভাগ করতে পারি?

সমাধানঃ

হ্যাঁ, যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা গ.সা.গু. x গঠিত, আমরা সেই সকল রাশিগুলিকে গসাগু x দ্বারা ভাগ করতে পারি।

উদাহরণঃ

মনে করি, দুইটি বীজগণিতীয় রাশি xy ও zx যাদের গসাগু = x. এখন x দ্বারা xy ও zx কে ভাগ করা যায়।

২. যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা লসাগু 15xyzp গঠিত, আমরা কি সেই সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ল.সা.গু 15xyzp কে ভাগ করতে পারি-ব্যাখ্যা করো।

সমাধানঃ

হ্যাঁ, যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা লসাগু 15xyzp গঠিত, আমরা সেই সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা লসাগু 15xyzp কে ভাগ করতে পারি।

ব্যখ্যাঃ

লসাগু মানেই লঘিষ্ট সাধারণ গুণীতক, অর্থাৎ যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ল.সা.গু গঠিত তাদেরও একটা গুণিতক হলো এই লসাগু।

তাহলে, যে সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ল.সা.গু 15xyzp গঠিত, সেই রাশিগুলোর একটা গুণীতক হলো 15xyzp. তার মানে 15xyzp কে সেই সকল বীজগণিতীয় রাশি দ্বারা ভাগ করা যায়।

উদাহরণঃ

xyz, 5x, 3xp এর লসাগু নির্ণয় করে দেখিঃ

xyz= x.y.z

5x = 5.x

3xp=3.x.p

অতএব, লসাগু=x.y.z.5.3.p = 15xyzp যাকে xyz, 5x ও 3xp দ্বারা ভাগ করা যায়।

গসাগু ‍নির্ণয়ের নিয়ম

1. পাটিগণিতের নিয়মে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগের গসাগু নির্ণয় করতে হবে।
2. বীজগণিতীয় রাশিগুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করতে হবে।
3. সাংখ্যিক সহগের গসাগু এবং প্রদত্ত রাশিগুলোর বীজগণিতীয় সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর ধারাবাহিক গুণফল হচ্ছে নির্ণেয় গসাগু।

কাজ : গসাগু নির্ণয় কর:

1. 3x³y², 2x²y³

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3x³y² = 3.x.x.x.y.y

২য় রাশি = 2x²y³ = 2.x.x.y.y.y

অতএব, গসাগু = x.x.y.y = x².y²

2. 3xy, 6x²y, 9xy²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3xy = 3.x.y

২য় রাশি = 6x²y = 3.2.x.x.y

৩য় রাশি = 9xy² = 3.3.x.y.y

অতএব, গসাগু = 3.x.y = 3xy

3. (x² – 25), (x – 5)²

সমাধানঃ

১ম রাশি = x² – 25 = x²-5² = (x-5)(x+5)

এবং,

২য় রাশি = (x-5)² = (x-5)(x-5)

অতএব, গসাগু = (x-5)

4. x² – 9, x² + 7x + 12, 3x + 9

সমাধানঃ

১ম রাশি = x² – 9 = x²-3² = (x+3)(x-3)

২য় রাশি = x² + 7x + 12 = x²+3x+4x+12 = x(x+3)+4(x+3) = (x+3)(x+4)

৩য় রাশি = 3x + 9 = 3(x+3)

অতএব, গসাগু = (x+3)

বিঃদ্রঃ পাঠ্যবইয়ে ১ম রাশি x² + 9 দেয়া আছে, সেক্ষেত্রে x² + 9 একটি মৌলিক রাশি। তখন তোমরা, তিনটি রাশির কোন সাধারণ মৌলিক উৎপাদক পাবে না, অর্থাৎ তখন গসাগু হবে ১।

লসাগু নির্ণয়ের নিয়ম:

লসাগু (Lowest Common Multiple or LCM) নির্ণয়:–

প্রত্যেক রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে, উক্ত উৎপাদকগুলোর প্রত্যেকটির যে মাত্রা রাশিগুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ, তাদের গুণফলই রাশিগুলোর লসাগু হবে। রাশিগুলোর সংখ্যা সহগগুলোর লসাগুই নির্ণেয় লসাগুর সংখ্যা সহগ হবে।

লসাগু নির্ণয় করো:

1. 3x²y³, 9x³y² ও 12x²y²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3x²y³ = 3.x².y³

২য় রাশি = 9x³y² = 3.3.x³.y²

৩য় রাশি = 12x²y² = 3.2.2.x².y²

অতএব, লসাগু = 3.x².y³.3.x.2.2 = 36x³y³

2. 3a² + 9, a⁴ – 9, ও a⁴ + 16a² + 9

সমাধানঃ

১ম রাশি

= 3a² + 9

= 3(a²+3)

২য় রাশি

= a⁴ – 9

= (a²)²-3²

= (a²+3)(a²-3)

৩য় রাশি = a⁴ + 16a² + 9

অতএব, লসাগু = 3(a²+3)(a²-3)(a⁴ + 16a² + 9) = 3(a⁴-9)( a⁴ + 16a² + 9)

3. x² + 10x + 21, x⁴ – 49x²

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x² + 10x + 21

= x² + 7x + 3x +21

= x(x+7)+3(x+7)

= (x+3)(x+7)

২য় রাশি

= x⁴ – 49x²

= x²(x²-49)

= x²(x²-7²)

= x²(x-7)(x+7)

অতএব, লসাগু = (x+3)(x+7)x²(x-7) = x²(x+3)(x²-49)

4. a – 2, a² – 4, a² – a – 2

সমাধানঃ

১ম রাশি = a-2

২য় রাশি = a²-4 = a² – 2² = (a-2)(a+2)

৩য় রাশি

= a²-a-2

= a²-2a+a-2

=a(a-2)+1(a-2)

=(a-2)(a+1)

অতএব, লসাগু = (a-2)(a+2)(a+1) = (a²-4)(a+1)

একক কাজঃ

গসাগু নির্ণয় করঃ

3a²b²c², 6ab²c²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3a²b²c² = 3.a.a.b.b.c.c

২য় রাশি = 6ab²c² = 3.2. b.b.c.c

অতএব, গসাগু = 3.a.b.b.c.c = 3ab²c²

5ab²x² , 10a²by²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 5ab²x² =5.a.b.b.x.x

২য় রাশি = 10a²by² = 5.2. a.a.b.y.y

অতএব, গসাগু = 5.a.b = 5ab

3a²x², 6axy², 9ay²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 3a²x² = 3.a.a.x.x

২য় রাশি = 6axy² = 3.2.a.x.y.y

৩য় রাশি = 9ay² = 3.3.a.y.y

অতএব, গসাগু = 3.a = 3a

16a³x⁴y, 40a²y²x, 28ax³

সমাধানঃ

১ম রাশি = 16a³x⁴y = 2.2.2.2.a.a.a.x.x.x.x.y

২য় রাশি =40a²y²x = 2.2.2.5.a.a.y.y.x

৩য় রাশি = 28ax³ = 2.2.7.a.x.x.x

অতএব, গসাগু =2.2.a.x = 4ax

a²+ab, a²-b²

সমাধানঃ

১ম রাশি = a²+ab = a(a+b)

২য় রাশি = a²-b² = (a-b)(a+b)

অতএব, গসাগু = (a+b)

x³y-xy³, (x-y)²

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x³y-xy³

= xy(x²-y²)

= xy(x-y)(x+y)

২য় রাশি

= (x-y)²

= (x-y)(x-y)

অতএব, গসাগু = (x-y)

x² +7x+12, x² +9x+20

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x² +7x+12

= x² + 4x + 3x + 12

= x(x+4)+3(x+4)

= (x+3)(x+4)

২য় রাশি

= x² + 9x + 20

= x² + 5x + 4x + 20

= x(x+5) + 4(x+5)

= (x+4)(x+5)

অতএব, গসাগু = x+4

a³ -ab², a⁴ +2a³b+a²b²

সমাধানঃ

১ম রাশি

= a³ -ab²

= a(a²-b²)

= a(a-b)(a+b)

২য় রাশি

= a⁴ +2a³b+a²b²

= a²(a²+2ab+b²)

=a²(a+b)²

=a²(a+b)(a+b)

অতএব, গসাগু = a(a+b)

a² -16, 3a+12, a² +5a+4

সমাধানঃ

১ম রাশি = a²-16 = a²-4² = (a-4)(a+4)

২য় রাশি = 3a+12 = 3(a+4)

৩য় রাশি

= a²+5a+4

= a²+4a+a+4

= a(a+4)+1(a+4)

= (a+1)(a+4)

অতএব, গসাগু = a+4

xy-y, x³y-xy, x²-2x+1

সমাধানঃ

১ম রাশি = xy-y = y(x-1)

২য় রাশি = x³y-xy = xy(x²-1) = xy(x-1)(x+1)

৩য় রাশি = x²-2x+1 = x²-2.x.1+1² = (x-1)² =(x-1)(x-1)

অতএব, গসাগু =(x-1)

লসাগু নির্ণয় কর:

6a³b²c, 9a⁴bd²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 6a³b²c = 3.2.a.a.a.b.b.c

২য় রাশি = 9a⁴bd² = 3.3.a.a.a.a.b.d.d

অতএব, লসাগু = 3.2.a.a.a.b.b.c.3.a.d.d = 18a⁴b²cd²

5x²y², 10xz³, 15y³z⁴

সমাধানঃ

১ম রাশি = 5x²y² = 5.x.x.y.y

২য় রাশি = 10xz³ = 5.2.x.z.z.z

৩য় রাশি =15y³z⁴ = 5.3.y.y.y.z.z.z.z

অতএব, লসাগু = 5.x.x.y.y.2.z.z.z.3.y.z = 30x²y³z⁴

2p²xy², 3pq², 6pqx²

সমাধানঃ

১ম রাশি = 2p²xy² = 2.p.p.x.y.y

২য় রাশি = 3pq² = 3.p.q.q

৩য় রাশি =6pqx² = 3.2.p.q.x.x

অতএব, লসাগু = 2.p.p.x.y.y.3.q.q.x = 6p²x²y

(b²-c²), (b+c)²

সমাধানঃ

১ম রাশি = (b²-c²) = (b-c)(b+c)

২য় রাশি = (b+c)² = (b+c)(b+c)

অতএব, লসাগু = (b-c)(b+c)(b+c)

x²+2x, x²+3x+2

সমাধানঃ

১ম রাশি = x²+2x = x(x+2)

২য় রাশি

= x²+3x+2

= x²+2x+x+2

= x(x+2)+1(x+2)

= (x+1)(x+2)

অতএব, লসাগু = x(x+2)(x+1) = x(x²+3x+2)

9x²-25y², 15ax-25ay

সমাধানঃ

১ম রাশি

= 9x²-25y²

= (3x)²-(5y)²

= (3x-5y)(3x+5y)

২য় রাশি

= 15ax-25ay

= 5a(3x-5y)

অতএব, লসাগু = 5a(3x-5y)(3x+5y) = 5a(9x²-25y²)

x²-3x-10, x²-10x+25

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x²-3x-10

= x²-5x+2x-10

= x(x-5)+2(x-5)

= (x+2)(x-5)

২য় রাশি

= x²-10x+25

= x²-5x-5x+25

= x(x-5)-5(x-5)

= (x-5)(x-5)

অতএব, লসাগু = (x+2)(x-5)(x-5) = (x+2)(x-5)²

a²-7a+12, a²+a-20, a²+2a-15

সমাধানঃ

১ম রাশি

= a²-7a+12

= a²-4a-3a+12

= a(a-4)-3(a-4)

= (a-3)(a-4)

২য় রাশি

= a²+a-20

= a²+5a-4a-20

= a(a+5)-4(a+5)

= (a-4)(a+5)

৩য় রাশি

= a²+2a-15

= a²+5a-3a-15

= a(a+5)-3(a+5)

= (a-3)(a+5)

অতএব, লসাগু = (a-3)(a-4) (a+5)

x²-8x+15, x²-25, x²+2x-15

সমাধানঃ

১ম রাশি

= x²-8x+15

= x²-5x-3x+15

= x(x-5)-3(x-5)

= (x-3)(x-5)

২য় রাশি

= x²-25

= x²-5²

= (x-5)(x+5)

৩য় রাশি

= x²+2x-15

= x²+5x-3x-15

= x(x+5)-3(x+5)

= (x-3)(x+5)

অতএব, লসাগু =(x-3)(x-5)(x+5)

x+5, x²+5x, x²+7x+10

সমাধানঃ

১ম রাশি = x+5

২য় রাশি = x²+5x = x(x+5)

৩য় রাশি

= x²+7x+10

= x²+5x+2x+10

= x(x+5)+2(x+5)

= (x+2)(x+5)

অতএব, লসাগু = x(x+5)(x+2)

পরবর্তী অধ্যায়ের সমাধান পেতে নিচের লিংকে ক্লিক করুন 👇

👉 নানা রকম আকৃতি মাপি – ১০ম অধ্যায় (১ম অংশ( (১৯৩ –  পৃষ্ঠা) – সমাধান | গণিত | সপ্তম শ্রেণী | Class 7 Math Chapter 10 | BD 2023