এই পোস্টে আমরা জানব ষষ্ঠ শ্রেনীর, বিষয় গণিত এর ৪র্থ অধ্যায়,মৌলিক উৎপাদকের গাছ সম্পর্কে।
প্রকৃতিতে কিছু গাছ দেখা যায় যাদের ডালপালা বা শাখা-প্রশাখা নেই। যেমন, সুপারি গাছ, তাল গাছ, নারকেল গাছ, খেঁজুর গাছ ইত্যাদি। আবার কিছু গাছপালা আছে যাদের অনেক ডালপালা বা শাখা-প্রশাখা আছে। যেমন: আম গাছ, জাম গাছ, মরিচ গাছ ইত্যাদি। তোমরা হয়তো ভাবছ গাছের সাথে আবার উৎপাদকের কী সম্পর্ক! ভেবে দেখ তো মরিচ গাছে মরিচ হয়, আম গাছে আম আর গোলাপ ফুলের গাছে গোলাপ ফুল। তাহলে মৌলিক উৎপাদকের গাছে ফুল হিসেবে কী থাকবে?
নিচের ছবিটা দেখলেই বুঝতে পারবে।
ছবি হতে পাইঃ-
৯৬
= ১২×৮
= (৬×২)×(৪×২)
= {(৩×২)×২}×(২×২)×২}
= ৩×২×২×২×২×২
আমরা এই অধ্যায়ের অনুশীলনীর (১ম অংশ) সমাধান করেছি যার বিষয়বস্তুসমূহ নিন্মরুপঃ
গুণিতক ও গুণনীয়কের খেলা
গসাগু’র খেলা
ইউক্লিড পদ্ধতিতে ভাগ প্রক্রিয়ায় গসাগু নির্ণয়
অনুশীলনীঃ (গসাগু ভিত্তিক সমাধান)
১) ছবির মাধ্যমে এবং ভাগ প্রক্রিয়ায় নিচের সংখ্যাগুলোর গসাগু নির্ণয় করো।
(ক) ২৪, ৪৫, ৭২
(খ) ৫৬, ৭৮, ৯০
(গ) ১২০, ৫৬, ৭৮
(ঘ) ৯৯, ৩৩, ১২৩
(ঙ) ৯৫, ৫৭, ২৩
সমাধানঃ
(ক) ২৪, ৪৫, ৭২
ছবির মাধ্যমেঃ-
ছবিতে ৭২ ও ৪৫ এর গসাগু পাই ৯
এবং ২৪ ও ৯ এর গসাগু পাই ৩
তাহলে, ৭২, ৪৫ ও ২৪ এর গসাগু হলোঃ ৩
ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-
৪৫)৭২(১
৪৫
————–
২৭)৪৫(১
২৭
————–
১৮)২৭(১
১৮
———————
৯)১৮(২
১৮
————————-
০
অর্থাৎ, ৪৫ ও ৭২ এর গসাগু ৯
আবার,
৯)২৪(২
১৮
————-
৬)৯(১
৬
—————-
৩)৬(২
৬
———————
০
অর্থাৎ, ৯ ও ২৪ এর গসাগু ৩
তাহলে, ৭২, ৪৫ ও ২৪ এর গসাগু হলোঃ ৩
(খ) ৫৬, ৭৮, ৯০
ছবির মাধ্যমেঃ-
ছবিতে ৯০ ও ৫৬ এর গসাগু পাই ২
এবং ২ ও ৭৮ এর গসাগু পাই ২
তাহলে, ৫৬, ৭৮ ও ৯০ এর গসাগু হলোঃ ২
ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-
৫৬)৯০(১
৫৬
————-
৩৪)৫৬(১
৩৪
———————–
২২)৩৪(১
২২
—————–
১২)২২(১
১২
——————–
১০)১২(১
১০
——————–
২)১০(৫
১০
————————–
০
অর্থাৎ, ৯০ ও ৫৬ এর গসাগু ২
আবার,
২)৭৮(৩৯
৭৮
—————
০
অর্থাৎ, ২ ও ৭৮ এর গসাগু ২
তাহলে, ৫৬, ৭৮, ৯০ এর গসাগু হলোঃ ২
(গ) ১২০, ৫৬, ৭৮
ছবির মাধ্যমেঃ-
ছবিতে, ১২০ ও ৫৬ এর গসাগু ৮
এবং ৭৮ ও ৮ এর গসাগু ২
তাহলে, ১২০, ৫৬ ও ৭৮ এর গসাগু ২
ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-
৫৬)১২০(২
১১২
—————-
৮)৫৬(৭
৫৬
———————
০
অর্থাৎ, ১২০ ও ৫৬ এর গসাগু ৮
আবার,
৮)৭৮(৯
৭২
————–
৬)৮(১
৬
—————–
২)৬(৩
৬
———-
০
অর্থাৎ, ৭৮ ও ৮ এর গসাগু ২
তাহলে, ১২০, ৭৮ ও ৫৬ এর গসাগু হলোঃ ২
(ঘ) ৯৯, ৩৩, ১২৩
ছবির মাধ্যমেঃ-
ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-
৩৩)৯৯(৩
৯৯
———–
০
অর্থাৎ, ৯৯ ও ৩৩ এর গসাগু ৩৩
আবার,
৩৩)১২৩(৩
৯৯
————-
২৪)৩৩(১
২৪
————
৯)২৪(২
১৮
—————–
৬)৯(১
৬
———–
৩)৬(২
৬
—————–
০
অর্থাৎ, ১২৩ ও ৩৩ এর গসাগু ৩
তাহলে, ৯৯, ৩৩ ও ১২৩ এর গসাগু হলোঃ ৩
(ঙ) ৯৫, ৫৭, ২৩
ছবির মাধ্যমেঃ-
ছবিতে, ৯৫ ও ৫৭ এর গসাগু ১৯
এবং ১৯ ও ২৩ এর গসাগু ১
তাহলে, ৯৫, ৫৭ ও ২৩ এর গসাগু হলোঃ ১
ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-
৫৭)৯৫(১
৫৭
————-
৩৮)৫৭(১
৩৮
—————
১৯)৩৮(২
৩৮
——————
০
অর্থাৎ, ৫৭ ও ৯৫ এর গসাগু ১৯
আবার,
১৯)২৩(১
১৯
————
৪)১৯(৪
১৬
———–
৩)৪(১
৩
———–
১)৩(৩
৩
————–
০
অর্থাৎ, ১৯ ও ২৩ এর গসাগু ১
তাহলে, ৯৫, ৫৭ ও ২৩ এর গসাগু হলোঃ ১
২) চিত্র থেকে ১০০ এবং ৪৪ এর গসাগু নির্ণয় করা যায়। কীভাবে বলো তো?
সমাধানঃ
গণিতবিদ Euclid এর পদ্ধতি অনুসারে গসাগু চিত্রটি হতে নির্ণয় করা যায়। নিচের চিত্রে সেটা তুলে ধরা হলোঃ
অর্থাৎ, গসাগু হলোঃ ৪
👉 তথ্য অনুসন্ধান ও বিশ্লেষণ – সমাধান | গণিত – ৩য় অধ্যায় | ষষ্ঠ শ্রেণী
৩) ১৫ মিটার এবং ৪০ মিটার দৈর্ঘ্যের দুইটি দড়ি আছে। এই দুইটি দড়িকে কেটে ছোট ছোট একই দৈর্ঘ্যের টুকরো করতে হবে যেন দড়ির কোনো অংশ নষ্ট না হয়। ছোট ছোট টুকরোর দৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ কত হতে পারে?
সমাধানঃ
নির্ণেয় ছোট ছোট টুকরার সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য হবে ১৫ ও ৪০ এর গসাগু এর সমান।
১৫)৪০(২
৩০
————
১০)১৫(১
১০
———–
৫)১০(২
১০
————–
০
১৫ ও ৪০ এর গসাগু হলোঃ ৫
অর্থাৎ, নির্ণেয় ছোট ছোট টুকরার সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার।
৪) একজন দোকানদার ১২টি প্যাকেটে মোমবাতি বিক্রি করে এবং ৮টি প্যাকেটে মোমবাতি স্ট্যান্ড বিক্রি করে। প্রতিটি মোমবাতি স্ট্যান্ডের জন্য একটি মোমবাতি থাকতে হলে আয়শাকে সর্বনিন্ম কতগুলো মোমবাতি এবং মোমবাতি স্ট্যান্ড কিনতে হবে?
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
দোকানদার প্রতি প্যাকেটে মোমবাতি বিক্রি করে ১২টি
এবং দোকানদার প্রতি প্যাকেটে মোমবাতি স্ট্যান্ড বিক্রি করে ৮টি
তাহলে, আয়শাকে সর্বনিন্ম যে কয়টি মোমবাতি ও স্ট্যান্ড কিনতে হবে তা হলো ১২ ও ৮ এর লসাগু এর সমান।
১২ = ২×২×৩
৮ = ২×২×২
লসাগু = ২×২×২×৩ = ২৪
অর্থাৎ, ১২ ও ৮ এর লসাগু হলোঃ ২৪
তাহলে আয়শাকে সর্বনিন্ম ২৪টি মোমবাতি ও ২৪টি স্ট্যান্ড কিনতে হবে।
এখন, ২৪টি মোমবাতি থাকে (২৪÷১২) = ২টি প্যাকেটে
এবং ২৪টি স্ট্যান্ড থাকে (২৪÷৮) = ৩টি প্যাকেটে
সুতরাং, আয়শাকে সর্বনিন্ম ২টি মোমবাতির প্যকেট ও ৩টি স্ট্যান্ডের প্যাকেট কিনতে হবে।
👉 দৈর্ঘ্য মাপি – সমাধান | গণিত – ৫ম অধ্যায় | ষষ্ঠ শ্রেণী
৫) একজন ফুল বিক্রেতা বিভিন্ন সারিতে ২৪টি ফুলের তোড়া সাজাতে চায়। তিনি প্রতিটি সারিতে একই সংখ্যক তোড়া দিয়ে সেগুলো কত বিভিন্ন উপায়ে সাজাতে পারেন?
সমাধানঃ
ফুলের তোড়ার সংখ্যা = ২৪টি
এখন,
২৪ এর গুণনীয়ক সমূহ হলোঃ ২৪, ১২, ৮, ৬, ৪, ৩, ২, ১
এখন,
২৪ = ২৪×১
অর্থাৎ, ২৪টি করে ফুলের তোড়া ১টি সারিতে সাজানো যাবে।
২৪ = ১২×২
অর্থাৎ, ১২টি করে ফুলের তোড়া ২টি সারিতে সাজানো যাবে।
২৪ = ৮×৩
অর্থাৎ, ৮টি করে ফুলের তোড়া ৩টি সারিতে সাজানো যাবে।
২৪ = ৬×৪
অর্থাৎ, ৬টি করে ফুলের তোড়া ৪টি সারিতে সাজানো যাবে।
২৪ = ৪×৬
অর্থাৎ, ৪টি করে ফুলের তোড়া ৬টি সারিতে সাজানো যাবে।
২৪ = ৩×৮
অর্থাৎ, ৩টি করে ফুলের তোড়া ৮টি সারিতে সাজানো যাবে।
২৪ = ২×১২
অর্থাৎ, ২টি করে ফুলের তোড়া ১২টি সারিতে সাজানো যাবে।
২৪ = ১×২৪
অর্থাৎ, ১টি করে ফুলের তোড়া ২৪টি সারিতে সাজানো যাবে।
তাহলে দেখা যাচ্ছে মোট সাজানোর সংখ্যা হলো ৮টি।
অর্থাৎ, ফুল বিক্রেতা প্রতিটি সারিতে একই সংখ্যক তোড়া দিয়ে ২৪টি তোড়াকে মোট ৮টি উপায়ে সাজাতে পারেন।
৬) ২১০টি কমলা, ২৫২ আপেল এবং ২৯৪টি নাশপাতি সমানভাবে কার্টনে প্যাক করা হয়েছে যাতে কোনো ফল অবশিষ্ট না থাকে। সর্বোচ্চ কতগুলো কার্টন প্রয়োজন হবে সেখানে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
কমলার সংখ্যা = ২১০টি
আপেলের সংখ্যা = ২৫২টি
নাশপাতির সংখ্যা = ২৯৪টি
প্রদত্ত শর্তমতে সর্বোচ্চ কার্টনের সংখ্যা হবে ২১০, ২৫২ ও ২৯৪ এর গসাগু।
২১০ = ২×৩×৫×৭
২৯৪=২×৩×৭×৭
২৫২=২×২×৩×৩×৭
গসাগু=২×৩×৭=৪২
অতএব, সর্বোচ্চ কার্টন সংখ্যা = ৪২টি।
৭) একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৬ মি ৮০ সেমি, ৫ মি ১০ সেমি এবং ৩ মি ৪০ সেমি। তোমাকে কোনো স্কেল দেওয়া হবে না শুধু একটি লাঠি দেওয়া হবে। লাঠির দৈর্ঘ্য তুমি যা চাইবে সেটাই পাবে কিন্তু একবারই বলার সুযোগ পাবে মানে লাঠি একটিই পাবে। এই লাঠি দিয়ে তোমাকে ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা প্রত্যেকটি সঠিকভাবে পরিমাপ করে নিশ্চিত করতে হবে। তুমি সর্বোচ্চ কত দৈর্ঘ্যের লাঠি চাইতে পারবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ৬ মি ৮০ সেমি = ৬৮০ সেমি
ঘরের প্রস্থ = ৫ মি ১০ সেমি = ৫১০ সেমি
ঘরের উচ্চতা = ৩ মি ৪০ সেমি = ৩৪০ সেমি
প্রদত্ত শর্তানুসারে, লাঠির সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য হবে ৬৮০, ৫১০ ও ৩৪০ এর গসাগু।
৬৮০ = ১৭×৫×২×২×২
৫১০ = ১৭×৫×৩×২
৩৪০ = ১৭×৫×২×২
গসাগু = ১৭×৫×২ = ১৭০
অর্থাৎ, আমি সর্বোচ্চ ১৭০ সেমি বা ১ মি ৭০ সেমি দৈর্ঘ্যের লাঠি চাইতে পারব।
৮) দুটি সংখ্যার গসাগু হলো ৬, একটি সংখ্যা ৪২ হলে অন্য সংখ্যাটি কত হতে পারে?
সমাধানঃ
একটি সংখ্যা = ৪২ = ২×৩×৭ = ৬×৭
এখন, সংখ্যা দুইটির গসাগু ৬,
তাহলে অন্য সংখ্যাটি হবে ৬×ক আকারের যেখানে ক = ১,২,৩,৪…..
তাহলে, অন্য সংখ্যাটি হতে পারে
৬×১ = ৬
বা, ৬×২ = ১২
বা, ৬×৩ = ১৮
বা, ৬×৪ = ২৪ …………………..
৯) বালতি ও পানির সাহায্যে একটিভিটিঃ
ক) ৩ লিটার ও ৫ লিটার পানির বালতি দিয়ে কীভাবে ৪ লিটার পানি পরিমাপ করা যায়? এক্ষেত্রে বালতির গায়ে কোনোরকম পরিমাপ নির্দেশক দাক কাটা থাকবে না। আবার অন্য কোনো পরিমাপ যন্ত্র যেমন স্কেল বা দাঁড়িপাল্লা ইত্যাদি ব্যবহার করা যাবে না।
সমাধানঃ
৩ লিটার ও ৫ লিটার পানির বালতি দিয়ে ৪ লিটার পানি পরিমাপের ধাপসমূহঃ
১. ৫ লিটারের বালতি পানি দ্বারা পূর্ণ করি।
২. ৫ লিটারের বালতি হতে ৩ লিটার পানি ৩ লিটারের বালতিতে ঢালি। ফলে ৫ লিটারের বালতিতে ২ লিটার পানি অবশিষ্ট থাকল।
৩. ৩ লিটারের পাত্রের পানি অপসারন করি বা পাত্র খালি করি।
৪. এবার ৫ লিটার বালতির ২ লিটার পানি ৩ লিটার পাত্রে ঢেলে নি। তাহলে ৫ লিটারের পাত্র খালি ও ৩ লিটারের বালটিতে ২ লিটার পানি থাকল।
৫. আবার ৫ লিটারের বালতি পূর্ণ করি।
৬. ৫ লিটারের বালতি হতে পানি ৩ লিটারের বালতিতে ঢেলে পূর্ণ করি। আগে যেহেতু ৩ লিটারের বালতিতে ২ লিটার পানি ছিল সেহেতু আর ১ লিটারেই ৩ লিটারের বালতিটি সম্পূর্ণ হয়ে যাবে। অর্থাৎ, ৫ লিটারের বালতি হতে ১ লিটার পানি ৩ লিটারের বালতিতে স্থানান্তরিত হবে। ফলে ৫ লিটারের বালতিতে ৪ লিটার পানি অবশিষ্ট থাকবে।
এভাবে, ৩ লিটার ও ৫ লিটার পানির বালতি দিয়ে ৪ লিটার পানি পরিমাপ করা যাবে।
মৌলিক উৎপাদকের গাছ ও লসাগু
প্রিয় সহযোগী, আমরা এই অংশে চতুর্থ অধ্যায়ের লসাগু অংশের সমাধান করেছি। গসাগু এর বিভিন্ন পদ্ধতি এবং গসাগু এর বিভিন্ন পদ্ধতি এখানে আলোচনা করা হয়েছে। এটা এই অধ্যায়ের দ্বিতীয় অনুশীলনীর সমাধান অংশ। মৌলিক উৎপাদকের গাছ ও লসাগু এর আগের অংশের সমাধান লিঙ্ক নিচে দেয়া হলোঃ
চতুর্থ অধ্যায়(গসাগু অংশ)
১) মৌলিক উৎপাদকের গাছের সাহায্যে ‘লসাগু’র খেলা অংশে আলোচনার সব কয়টি পদ্ধতিতে লসাগু নির্ণয় করো।
(ক) ১৪, ১৫, ১২
(খ) ৬৬, ৭৮, ১০০
(গ) ১২০, ৫৬, ৬০
(ঘ) ৫৫, ১৫, ১৪৩
(ঙ) ২৫, ৫৭, ৯৫
সমাধানঃ
(ক) ১৪, ১৫, ১২
মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
অতএব, লসাগু = ২×৭×৩×৫×২ = ৪২০
ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
২|১৪,১৫,১২
৭|৭,১৫,৬
৩|১,১৫,৬
১,৫,২
অতএব, লসাগু = ২×৭×৩×৫×২ = ৪২০
সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
১৪ এর গুণিতকগুলো = ১৪, ২৮, ৪২, ৫৬, ৭০, ৮৪, ৯৮, ১১২, ১২৬, ১৪০, ১৫৪, ১৬৮, ১৮২, ২১০, ২২৪, ২৩৮, ২৫২, ২৬৬, ২৮০, ২৯৪, ৩০৮, ৩২২, ৩৩৬, ৩৫০, ৩৬৪, ৩৭৮, ৩৯২, ৪০৬, (৪২০)….ইত্যাদি
১৫ এর গুণিতকগুলো = ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫, ৯০, ১০৫, ১২০, ১৩৫, ১৫০, ১৬৫, ১৮০, ১৯৫, ২১০, ২২৫, ২৪০, ২৫৫, ২৭০, ২৮৫, ৩০০, ৩১৫, ৩৩০, ৩৪৫, ৩৬০, ৩৭৫, ৩৯৫, ৪০৫, (৪২০)…….ইত্যাদি
১২ এর গুণিতকগুলো = ১২, ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০, ৭২, ৮৪, ৯৬, ১০৮, ১২০, ১৩২, ১৪৪, ১৫৬, ১৬৮, ১৮০, ১৯২, ২০৪, ২১৮, ২২৮, ২৪০, ২৫২, ২৬৪, ২৭৬, ২৮৮, ৩০০, ৩১২, ৩২৪, ৩৩৬, ৩৪৮, ৩৬০, ৩৭২, ৩৮৪, ৩৯৬, ৪০৮, (৪২০)…ইত্যাদি
এখন,
১৪, ১৫ ও ১২ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ৪২০
অতএব, লসাগু = ৪২০
(খ) ৬৬, ৭৮, ১০০
মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
অতএব, লসাগু = ৩×২×১১×১৩×৫×৫×২ = ৪২৯০০
ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
৩|৬৬,৭৮,১০০
২|২২,২৬,১০০
১১|১১,১৩,৫০
৫|১,১৩,৫০
২|১,১৩,১০
১,১৩,৫
অতএব, লসাগু = ৩×২×১১×৫×১৩×৫×৫ = ৪২৯০০
সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
৬৬ এর গুণিতকগুলো =৬৬, ১৩২,১৯৮, ২৬৪, ৩৩০, ৩৯৬, ৪৬২, ৫২৮, ৫৯৪, ৬৬০, ………. (৪২৯০০), ৪২৯৬৬….. ইত্যাদি
৭৮ এর গুণিতকগুলো = ৭৮, ১৫৬, ২৩৪ …….. ৪২৮২২, (৪২৯০০), ৪২৯৭৮……ইত্যাদি
১০০ এর গুণিতকগুলো = ১০০, ২০০, ৩০০,……. ৪২৮০০, (৪২৯০০), ৪৩০০০ ….ইত্যাদি
৬৬, ৭৮ ও ১০০ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ৪২৯০০
অতএব, লসাগু = ৪২৯০০
(গ) ১২০, ৫৬, ৬০
মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
অতএব, লসাগু = ৫×২×৩×২×২×৭ = ৮৪০
ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
৫|১২০,৫৬,৬০
২|২৪,৫৬,১২
৩|১২,২৮,৬
২|৪,২৮,২
২|২,১৪,১
১,৭,১
অতএব, লসাগু = ৫×২×৩×২×২×৭ = ৮৪০
সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
১২০ এর গুণিতকগুলো = ১২০, ২৪০,৩৬০, ৪৮০, ৬০০, ৭২০, (৮৪০), ৯৬০ …. ইত্যাদি
৫৬ এর গুণিতকগুলো = ৫৬, ১১২, ১৬৮, ২২৪, ২৮০, ৩৩৬, ৩৯২, ৪৪৮, ৫০৪, ৫৬০, ৬১৬, ৬৭২, ৭২৮, ৭৮৪, (৮৪০), ৮৯৬ …..ইত্যাদি
৬০ এর গুণিতকগুলো = ৬০, ১২০, ১৮০, ২৪০, ৩০০, ৩৬০, ৪২০, ৪৮০, ৫৪০, ৬০০, ৬৬০, ৭২০, ৭৮০, (৮৪০), ৯০০….ইত্যাদি
১২০, ৫৬ ও ৬০ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ৮৪০
অতএব, লসাগু = ৮৪০
(ঘ) ৫৫, ১৫, ১৪৩
মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
অতএব, লসাগু = ৫×১১×৩×১৩ = ২১৪৫
ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
৫|৫৫,১৫,১৪৩
১১|১১,৩,১৪৩
১,৩,১৩
অতএব, লসাগু = ৫×১১×৩×১৩ = ২১৪৫
সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
৫৫ এর গুণিতকগুলো =৫৫, ১১০ ……. ২০৯০, (২১৪৫), ২২০০ ……ইত্যাদি
১৫ এর গুণিতকগুলো = ১৫, ৩০, ৪৫, ….. ২১৩০, (২১৪৫), ২১৬০…..ইত্যাদি
১৪৩ এর গুণিতকগুলো = ১৪৩, ২৮৬, ……২০০২, (২১৪৫), ২২৮৮……
ইত্যাদি
৫৫, ১৫ ও ১৪৩ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ২১৪৫
অতএব, লসাগু = ২১৪৫
(ঙ) ২৫, ৫৭, ৯৫
মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
অতএব, লসাগু = ৫×৫×৩×১৯ = ১৪২৫
ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
৫|২৫,৫৭,৯৫
৫|৫,৫৭,১৯
৩|১,৫৭,১৯
১৯|১,১৯,১৯
১,১,১
অতএব, লসাগু = ৫×৫×৩×১৯ = ১৪২৫
সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
২৫ এর গুণিতকগুলো = ২৫, ৫০, ৭৫, ……..১৪০০, (১৪২৫), ১৪৫০. ……ইত্যাদি
৫৭ এর গুণিতকগুলো = ৫৭, ১১৪, ১৭১,……১৩৬৮, (১৪২৫), ১৪৮২,……..ইত্যাদি
৯৫ এর গুণিতকগুলো = ৯৫, ১৯০, ২৮৫, …………১৩৩০, (১৪২৫), ১৫২০…..ইত্যাদি
২৫, ৫৭ ও ৯৫ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ১৪২৫
অতএব, লসাগু = ১৪২৫
২) গসাগু ও লসাগু’র মধ্যে সম্পর্ক:
যে কোনো দুইটি সংখ্যা ১০ এবং ৩০ নিয়ে মৌলিক গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করা হলো।
১০ = ২×৫, ৩০ = ২×৩×৫
১০ এবং ৩০ এর গসাগু = ২ × ৫ = ১০
এবং লসাগু = ২ × ৩ × ৫ = ৩০
আবার, 10 এবং 30 সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ১০ × ৩০ = (২×৫) × (২×৩×৫)
= গসাগু × লসাগু
∴ দুইটি সংখ্যার গুণফল সংখ্যা দুইটির গসাগু ও লসাগু এর গুণফলের সমান।
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের গসাগু × সংখ্যাদ্বয়ের লসাগু
এবার, ‘দুইটি সংখ্যার গুণফল সংখ্যা দুইটির গসাগু ও লসাগু’র গুণফলের সমান।‘
তুমি কি উপরের গাণিতিক উক্তিটি ‘গসাগু’র খেলা’ এবং লসাগু’র খেলা’ অংশে আলোচনা করা পদ্ধতির মাধ্যমে যেকোনো দুইটি সংখ্যার জন্য সত্য প্রমান করতে পারবে?
সমাধানঃ
হ্যা, আমি উপরোক্ত গাণিতিক বাক্যের সত্যতা প্রমান করতে পারব।
এর জন্য দুইটি সংখ্যা ধরি, ৪ ও ৬
উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে ৪ ও ৬ এর গসাগু নির্ণয়ঃ
অতএব, ৪ ও ৬ এর গসাগুঃ ২
গুণনীয়ক এর মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ
৪ এর গুণনীয়কগুলোঃ ১,২,৪
৬ এর গুণনীয়কগুলোঃ ১,২,৩,৬
অতএব, ৪ ও ৬ এর গসাগু = ২
উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে ৪ ও ৬ এর লসাগু নির্ণয়ঃ
অতএব, ৪ ও ৬ এর লসাগুঃ ১২
ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে ৪ ও ৬ এর লসাগু নির্ণয়ঃ
২|৪,৬
২,৩
অতএব, ৪ ও ৬ এর লসাগু = ২×২×৩ = ১২
৪ ও ৬ এর গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ
৪ এর গুণিতকগুলোঃ ৪, ৮, ১২, ১৬….ইত্যাদি
৬ এর গুণিতকগুলোঃ ৬, ১২, ১৮, ….ইত্যাদি
৪ ও ৬ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ১২
অতএব, ৪ ও ৬ এর লসাগু = ১২
অর্থাৎ, আমরা প্রত্যেক ক্ষেত্রে ৪ ও ৬ এর গসাগু পাই ২ এবং লসাগু পাই ১২
৪ ও ৬ এর গসাগু ও লসাগু এর গুনফল = ২×১২ = ২৪
আবার, ৪×৬ = ২৪
সুতরাং, দুটি সংখ্যার গুনফল = সংখ্যা দুটির গসাগু × সংখ্যা দুটির লসাগু [প্রমানিত]
৩) সর্বনিম্ন কতজন শিক্ষার্থীকে ৩, ৪, ৬ এবং ৮ জনের দলে সাজানো যেতে পারে যাতে কোনো ক্ষেত্রেই কেউ অবশিষ্ট না থাকে?
সমাধানঃ
নির্ণেয় সর্বনিন্ম শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে ৩, ৪, ৬ ও ৮ এর লসাগু।
৩|৩,৪,৬,৮
২|১,৪,২,৮
২|১,২,১,৪
১,১,১,২
লসাগু = ৩×২×২×২ = ২৪
সুতরাং, নির্ণেয় শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ২৪
৪) একটি লোকাল বাস সার্ভিসে ২ রকম বাস রয়েছে যেগুলো সকাল ৮ টায় থেকে একসাথে যাত্রা শুরু করে। প্রথম ধরনের বাসগুলো প্রতি ১৫ মিনিট পরপর ছেড়ে যায় এবং দ্বিতীয় ধরনের বাসগুলো প্রতি ২০ মিনিট পরপর ছেড়ে যায়। কোনো একটি দিনে সকাল ৮টা থেকে ১১টার মধ্যে প্রথম এবং দ্বিতীয় দুই ধরনের বাসই একই সাথে বা একই সময়ে কতবার ছেড়ে যায়?
সমাধানঃ
সমাধানের জন্য, আমাদের প্রথমে ১৫ এবং ২০ এর লসাগু বের করতে হবে।
১৫ = ৩×৫
২০ = ২×২×৫
অর্থাৎ, লসাগু = ৩×৫×২×২ = ৬০
তাহলে, প্রথম ও দ্বিতীয় দুই ধরনের বাসই একই সাথে বা একই সময়ে ৬০ মিনিট পরপর ছেড়ে যাবে।
এখন, ৬০ মিনিট = ১ ঘন্টা।
আবার, সকাল ৮ টা থেকে ১১ টা = (১১ – ৮) ঘন্টা = ৩ ঘন্টা
যেহেতু ও দ্বিতীয় দুই ধরনের বাসই একই সাথে বা একই সময়ে ১ ঘণ্টা পরপর একসাথে ছেড়ে যায় সেহেতু ৩ ঘন্টায় দুই ধরনের বাস মোট ৩ বার একই সাথে বা একই সময়ে ছেড়ে যাবে।
উত্তরঃ ৩ বার।
৫) তিনজন চিত্রশিল্পী রন, হাবিব এবং শেলি একটি হোটেলের কক্ষে নকশা করার কাজ করছেন। হোটেলে রুম নম্বর আছে ১৫ থেকে ২০০। রনকে সব কক্ষেই কাজ করতে হবে। হাবিবকে সেই কক্ষে কাজ করতে হবে যেখানে রুম নম্বরটি ৩ এর গুণিতক। শেলিকে সেই কক্ষে কাজ করতে হবে যেখানে রুম নম্বরটি ৫ এর গুণিতক। কোন কোন ঘরে তারা সবাই একসাথে কাজ করবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
রনকে কাজ করতে হবে সব রুমে অর্থাৎ যেইসকল রুমে যেগুলোর নম্বরটি ১ এর গুণিতক
হাবিব কাজ করতে হবে যেইসকল রুমে যেগুলোর নম্বরটি ৩ এর গুণিতক
শেলি কাজ করতে হবে যেইসকল রুমে যেগুলোর নম্বরটি ৫ এর গুণিতক
এবং হোটেলে রুমের নম্বর আছে ১৫ থেকে ২০০
এখন,
১, ৩ ও ৫ এর লসাগু = ১৫
অর্থাৎ, তারা ১৫ এর গুণিতক রুম নাম্বারে একসাথে কাজ করবে।
আবার,
১৫ থেকে ২০০ পর্যন্ত ১৫ এর গুণিতকের তালিকা হলোঃ
১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫, ৯০, ১০৫, ১২০, ১৩৫, ১৫০, ১৬৫, ১৮০, ১৯৫।
সুতরাং, তারা সবাই ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫, ৯০, ১০৫, ১২০, ১৩৫, ১৫০, ১৬৫, ১৮০, ১৯৫ নং ঘরে একসাথে কাজ করবে।
৬) সারা প্রতি ৬তম দিনে একটি শপিং মলে যায়। অ্যান্ডি প্রতি ৭ম দিনে একই শপিং মলে যায়। ১লা ডিসেম্বর থেকে গণনা শুরু করলে ডিসেম্বর এবং জানুয়ারি মাসে মোট কতবার তাদের মলে দেখা হবে?
সমাধানঃ
ডিসেমবর মাসের দিন সংখ্যা = ৩১ দিন।
জানুয়ারি মাসের দিন সংখ্যা = ৩১ দিন।
তাহলে, ডিসেম্বর ও জানুয়ারি মাসে মোট দিন সংখ্যা = ৩১ + ৩১ দিন = ৬২ দিন।
এখন,
সারা প্রতি ৬তম দিনে একটি শপিং মলে যায়।
অ্যান্ডি প্রতি ৭ম দিনে একই শপিং মলে যায়।
৬ এর গুণিতকগুলোঃ ৬,১২,২৪,৩০,৩৬,৪২,৪৮,৫৪,৬০….
৭ এর গুণিতকগুলোঃ ৭,১৪,২১,২৮,৩৫,৪২,৪৯,৫৬….
অর্থাৎ ৬ ও ৭ এর গুণিতক থেকে দেখা যাচ্ছে ৬২ দিনের মধ্যে সারা ও অ্যান্ডি ৪২তম দিনে শপিং মলে একই দিনে যাবে।
সুতরাং, সারা ও অ্যান্ডি ডিসেম্বর ও জানুয়ারি মাসে মোট ১বার একে অপরের সাথে মিলিত হবে।
৭) সামির একবারে ৪ ধাপ লাফ দিতে পারে এবং নিনা একবারে ৫ ধাপ লাফ দিতে পারে। উভয়ে একসাথে লাফাতে শুরু করলে কোন ধাপে উভয়েই মিলিত হবে?
সমাধানঃ
যে ধাপে সামির ও নিনা একসাথে মিলিত হবে তা ৪ ও ৫ এর লসাগুর সমান।
৪ ও ৫ এর লসাগুঃ ২০
সুতরাং তারা একসাথে লাফাতে শুরু করলে ২০তম ধাপে উভয়েই মিলিত হবে।
৮। অমিয়ার সপ্তাহের প্রতি ২য় দিনে একটি সংগীতের ক্লাস এবং প্রতি ৩য় দিনে পেইন্টিং ক্লাস হয়। কোন দিন তার উভয় ক্লাস হবে?
সমাধানঃ
২ এর গুণিতকসমূহঃ ২,৪,৬,৮,….
৩ এর গুণিতকসমূহঃ ৩,৬,৯,১২….
২ ও ৩ এর লসাগুঃ ৬
সুতরাং, আমিয়ার উভয় ক্লাস হবে ৬ষ্ট দিনে।
৯। আজ, ফুটবল দল এবং বাস্কেটবল দল উভয়েরই খেলা ছিল। ফুটবল দল প্রতি ৩ দিনে খেলে এবং বাস্কেটবল দল প্রতি ৫ দিনে খেলে। আবার কবে একই দিনে দুই দলের খেলা হবে?
সমাধানঃ
৩ এর গুণিতকগুলঃ ৩,৬,৯,১২,১৫,১৮…..
৫ এর গুণিতকগুলোঃ ৫,১০,১৫,২০,২৫…..
অর্থাৎ, ৩ ও ৫ এর লসাগুঃ ১৫
সুতরাং, ১৫ দিনের মাথায় দুই দলের খেলা একই দিনে আবার হবে।
১০। তুমি প্রতি ৪ সেকেন্ডে তোমার বন্ধুর দিকে তাকিয়ে একবার হাসো এবং তোমার বন্ধু প্রতি ৬ সেকেন্ডে তোমার দিকে তাকিয়ে ফিরে হাসেন। তুমি ও তোমার বন্ধু একই সাথে কখন হাসবে?
সংকেত : নিজেরাই হাসাহাসি করে দেখো
সমাধানঃ
আমি ও আমার বন্ধু একই সাথে যে সময়ে হাসব তা হলো ৪ ও ৬ এর লসাগুর সমান।
২।৪,৬
২,৩
লসাগু = ২×২×৩ = ১২
অর্থাৎ, আমি ও আমার বন্ধু ১২ সেকেন্ডে একই সাথে আবার হাসব।
১১। ছবিতে দুইটি ভিন্ন আকারের বর্গাকৃতি বাক্স দিয়ে পাশাপাশি দুইটি আলাদা স্তুপ করা হচ্ছে। দুটি স্তুপের উচ্চতা সমান করতে হলে সর্বনিম্ন কতগুলো কমলা বাক্স এবং কতগুলো নীল বাক্স প্রয়োজন হবে? সর্বনিম্ন কত উচ্চতায় স্তুপ দুটি সমান উঁচু হবে?
সমাধানঃ
ছবিতে,
কমলা বাক্সের উচ্চতা ১০ ইঞ্চি
এবং নীল বাক্সের উচ্চতা ১২ ইঞ্চি।
তাহলে, সর্বনিন্ম যে উচ্চতায় স্তুপ দুটির উচ্চতা সমান হবে তা হলো ১০ ও ১২ এর লসাগুর সমান।
২।১০,১২
২।৫,৬
৫,৩
লসাগু =২×২×৫×৩ =৬০
অর্থাৎ, সর্বন্নম ৬০ ইঞ্চি উচ্চতায় স্তুপ দুটির উচ্চতা সমান হবে।
১২। একটি ম্যারাথন দৌড়ে দুইজন ব্যক্তি দৌড় শুরু করার পর নির্দিষ্ট সময় পরপর পানি পান করেন। প্রথম ব্যক্তি প্রতি ৯ মিনিটে একবার পানি পান করেন। দৌড় শুরুর ৭২ মিনিট পরে প্রথমবার দুইজন একই সময়ে পানি পান করেন। দ্বিতীয় ব্যক্তি কত সময় পরপর পানি পান করেন? ৭২ মিনিটে দ্বিতীয় ব্যক্তি কতবার করে পানি পান করেন?
সমাধানঃ
৭২ = ২×২×২×৩×৩ = ৮×৩×৩
এখন একটি সংখ্যা ৯ এবং অপর সংখ্যা a হলে এদের লসাগু ৭২ হবে যদি
a = ৮ বা ৮×৩ বা ৮×৩×৩ হয়
অর্থাৎ, ৮, ২৪ বা ৭২ হয়।
তাহলে, প্রথম ব্যক্তি ৯ মিনিট পরপর পানি পান করলে দ্বিতীয় ব্যক্তি ৮ মিনিট বা ২৪ মিনিট বা ৭২ মিনিট পরপর পানি পান করেন।
এখন,
৭২÷৮=৯
৭২÷২৪=৩
৭২÷৭২=১
তাহলে, দ্বিতীয় ব্যক্তি ৭২ মিনিটে মোট ৯ বার বা ৩ বার বা ১ বার পানি পান করেন।
১৩। ঢাকার নগর সার্ভিসের একটি বাস A প্রতি ৬০ মিনিট পরপর বাসস্ট্যান্ড ছেড়ে যায়। আবার একই বাসস্ট্যান্ড থেকে আরেকটি বাস B প্রতি ৮০ মিনিট পরপর ছেড়ে যায়। প্রতিদিন সকাল ৬ টায় বাস দুইটি তাদের সার্ভিস শুরু করে। প্রতিদিন মোট কতবার এবং কোন কোন সময়ে উভয় বাস একসাথে বাসস্ট্যান্ড ছেড়ে যাবে?
সমাধানঃ
৬০ ও ৮০ এর লসাগুই নির্দিষ্ট সময়সীমা যখন বাস দুটি একই সময় একসাথে ছাড়বে।
২।৬০,৮০
৫।৩০,৪০
২।৬,৮
২।৩,৪
৩,২
লসাগু = ২×৫×২×২×৩×২ = ২৪০
অর্থাৎ বাস দুটি ২৪০ মিনিট পরপর একসাথে ছাড়বে।
২৪০ মিনিট = (২৪০÷৬০) ঘন্টা = ৪ ঘন্টা।
এখন, এক দিন = ২৪ ঘন্টা হলে, বাস দুটি একই সময়ে ছেড়ে যাবে মোট (২৪÷৪) = ৬ বার।
বাস দুইটি,
১ম বার একসাথে ছেড়ে যাবে সকাল ৬টায়
২য় বার একসাথে ছেড়ে যাবে (৬টা+৪ঘন্টা) = সকাল ১০ টায়
৩য় বার একসাথে ছেড়ে যাবে (১০টা+৪ঘন্টা) = দুপুর ২ টায়
৪র্থ বার একসাথে ছেড়ে যাবে (২টা+৪ঘন্টা) = সন্ধ্যা ৬ টায়
৫ম বার একসাথে ছেড়ে যাবে (৬টা+৪ঘন্টা) = রাত ১০ টায়
৬ষ্ট বার একসাথে ছেড়ে যাবে (১০টা+৪ঘন্টা) = রাত ২ টায়।